用PROE做足球

看一下足球的图片，就会发现虽然白色的六边形彼此相邻但是黑色的五边形却永不相互接触（五边形没有公共边）。

实际上每个五边形之间（黑色）都被六边形给相互隔开了。如果考虑到对称性并仔细观察足球，就会看到足球上的每个顶点都在五边形上（六边形上没有单独的顶点）。由于一共有 12 个五边形，而每个五边形有 5 个顶点，因此在足球上一共有 12 x 5 = 60 个顶点。

欧拉定律
著名的数学家欧拉发现了在简单形状中面（F）的数目、顶点数（C）和边数（E）之间的一个简单公式：

他发现对于很多形状来说 F + C - E = 2 是成立的。
（F, C 和 E 分别代表面数、顶点数和边数）

例如，一个立方体（骰子）有 6 个面，8 个顶点和12 条边，因此有 6 + 8 - 12 = 2，这是正确的。

在一个足球中有 60 个顶点，而每个顶点有三条边，但是每两个顶点之间有一条边重复。这就是说每个顶点有 3/2 条边，因此整个足球有 60 x 3/2 = 90 条边。

现在我们已经知道：

C = 60, E = 90, F = 五边形的个数 + 六边形的个数 = 12 + H

把这些数据代入 C + F - E = 2 ，便可以推断出六边形的个数（H）：

C + F - E = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2

移项整理得：

H = 2 + 90 - 12 - 60 = 20 个六边形。

五边形
五边形在这个结构中是非常重要的，我们可以发现六边形组成的图形只能是平面的 - 就好象贴地板砖一样（这就是文章开始的前三幅图形看起来是平面的原因 - 现实生活中就是这样的）。每添加一个五边形，形状就扭曲一点。当画完 12 个五边形的时候，足球就闭合了。画这种结构的时候，我们必须考虑到这种扭曲。
足球小结 - 平截二十面体
从我们学到的来看，足球就是一个平截二十面体，它有：
12 个五边形，
20 个六边形，
60 个顶点，
90 条边，
六边形可以相互接触，但五边形之间永远没有共同边。

制作足球的关键在于第一条斜线,它的角度为arccos(cos(120)/cos(126)),长度与其它线一样长.
然后就是环形阵列了.